На рисунку зображено графік залежності шляху \(S\) (у км), пройденого групою туристів, від часу \(t\) (у год). Яке з наведених тверджень є правильним?

Сума довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, дорівнює 60 см. Визначте суму довжин усіх ребер цього паралелепіпеда.

Розв’яжіть рівняння \( \frac{x}{10}=2,5.\)

На рисунку зображено трапецію \(ABCD\). Визначте градусну міру кута \(BCD\), якщо \(\angle ADB=35^\circ, \angle BDC = 20^\circ\).

На рисунку зображено графік функції \(y=f(x)\), визначеної на проміжку [–2; 4]. Укажіть точку екстремуму цієї функції.

\((a-4)^2-a^2=\)

Період \(T\) електромагнітних коливань у коливальному контурі, що складається з послідовно з’єднаних конденсатора ємністю \(C\) й котушки з індуктивністю \(L\), обчислюють за формулою Томсона \(T=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{LC}\). Визначте із цієї формули індуктивність \(L\).

$$ \frac{15^3}{3^2}=$$

Які з наведених тверджень є правильними?

I.   Діагоналі будь-якого паралелограма рівні.

II.  Протилежні кути будь-якого паралелограма рівні.

III. Відстані від точки перетину діагоналей будь-якого паралелограма до його протилежних сторін рівні.

Розв’яжіть систему рівнянь $$ \left\{ \begin{array}{l} 6(x+5)+10y=3,\\ 2x=y+4. \end{array} \right. $$ Для одержаного розв’язку \((x_0;\ y_0)\) укажіть суму \(x_0+y_0\).

Укажіть похідну функції $$ f(x)=\frac{2x-3}{x}. $$

Розв’яжіть нерівність \(4\cdot 3^x\lt 3^x +6\).

Спростіть вираз \(2\cos(450^\circ + \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})-\sin \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\).

Бісектриса кута \(A\) прямокутника \(ABCD\) перетинає сторону \(BC\) в точці \(K\). Обчисліть площу чотирикутника \(AKCD\), якщо \(BK=KC=8\ \text{см}\).

Цукерку циліндричної форми висотою 10 см і радіусом основи 1 см запаковано в коробку, що має форму правильної трикутної призми (див. рисунок). Основи циліндра вписано у відповідні основи призми. Основи коробки (призми) виготовлено з поліетилену, а всі її бічні грані – з паперу. Визначте площу паперу, витраченого на виготовлення такої коробки. Укажіть відповідь, найближчу до точної. Витратами паперу на з’єднання граней коробки знехтуйте.

Установіть відповідність між початком речення (1 3) і його закінченням (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Установіть відповідність між початком речення (1–3) і його закінченням (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Установіть відповідність між виразом (1–3) і проміжком (А – Д), якому належить значення цього виразу, якщо \(a=4,5\).

Довжина кола основи конуса дорівнює \(36\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\), твірна нахилена до площини основи під кутом 30°. Установіть відповідність між відрізком (1–3) і його довжиною (А – Д).

Автомобіль двічі заправляли пальним і щоразу по 40 л. Ціна пального, використаного під час першого заправлення, становила 20 грн за 1 л. Порівняно з нею ціна пального, використаного для другого заправлення, була більшою на 2,5 %.

1. Скільки гривень коштував 1 л пального, використаного для другого заправлення?

2. Скільки всього витрачено грошей (у грн) за ці два заправлення автомобіля пальним?

У ромб \(ABCD\) вписано квадрат \(KLMN\), сторона \(KL\) якого перетинає діагональ \(AC\) в точці \(P\) (див. рисунок). \(AL=10\ \text{см},\ AP=8\ \text{см}\).

1. Обчисліть довжину сторони квадрата \(KLMN\) (у см).

2. Обчисліть довжину діагоналі \(BD\) ромба \(ABCD\) (у см).

У прямокутній системі координат у просторі початком вектора \(\overrightarrow{AB}(9;\ 12;\ -8)\) є точка \(A(3;\ -7;\ 11)\).

1. Визначте ординату точки \(B\).

2. Обчисліть модуль вектора \(\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\).

Суму \(n\) перших членів арифметичної прогресії \((a_n)\) задано формулою: $$ S_n=\frac{5,2-0,8n}{2}\cdot n. $$

1. Визначте суму перших шести членів цієї прогресії.

2. Визначте четвертий член цієї прогресії.

На діаграмі відображено інформацію про результати складання письмового заліку студентами певної групи. Комісія з якості освіти розпочинає перевірку відповідності виставлених оцінок змісту залікових робіт студентів і відбирає для перевірки декілька робіт навмання. Яка ймовірність того, що першою буде відібрано роботу з оцінкою \(D\)? Отриману відповідь округліть до сотих.

Тривалість зеленого сигналу світлофора на 15 с довша за тривалість червоного сигналу й у дванадцять разів довша за тривалість жовтого сигналу. Яка тривалість (у с) червоного сигналу, якщо тривалість зеленого сигналу відноситься до сумарної тривалості червоного й жовтого сигналів як 3 до 2?

Обчисліть $$ \frac{\sqrt{18-8\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{9+4\sqrt{2}}. $$

Розв’яжіть рівняння \(x+4|x|=3\). Якщо рівняння має єдиний корінь, запишіть його у відповіді. Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповіді запишіть їхню суму.

На курсах з вивчення іноземних мов як бонус запропоновано два безкоштовні заняття, одне з яких проводитимуть дистанційно, а друге – в аудиторії. Тему кожного з цих двох занять слухач може вибрати самостійно з 10 запропонованих. Скільки всього існує способів вибору форм проведення цих двох занять та різних тем до них?

Задано функцію \(y=2x+8\).

1. Для наведених у таблиці значень аргументу \(x\) і значень функції \(y\) визначте відповідні їм значення \(y\) та \(x\).

2. Запишіть координати точки \(M\) перетину графіка заданої функції з віссю \(x\).

3. Знайдіть загальний вигляд первісних функції \(f(x)=2x+8\).

4. Знайдіть первісну \(F(x)\) функції \(f\), графік якої проходить через точку \(M\).

5. Побудуйте графік функції \(F\).

6. Визначте область значень функції \(G(x)=3\cdot F(x)+1\).

У правильній чотирикутній піраміді \(SABCD\) плоский кут при вершині \(S\) піраміди дорівнює \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\). Довжина апофеми піраміди дорівнює 6.

1. Зобразіть на рисунку задану піраміду й позначте кут \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\).

2. Визначте довжину сторони основи піраміди \(SABCD\).

3. Визначте об’єм піраміди \(SABCD\).

У правильній чотирикутній піраміді \(SABCD\) плоский кут при вершині \(S\) піраміди дорівнює \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\). Довжина апофеми піраміди дорівнює 6.

1. Зобразіть на рисунку задану піраміду й укажіть лінійний кут \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\) двогранного кута при її бічному ребрі. Обґрунтуйте його положення.

2. Визначте кут \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\).

Доведіть тотожність
\(1-8\sin^2x\cos^2x-2\cos^22x=\frac{x^3-1}{x^2+x+1}-x\).

Задано рівняння $$ \frac{(x-2)\cdot (x^2-3(a-1)x+2a^2-3a)}{\log_{0,5}(3-2x)+2}=0, $$ де \(x\) – змінна, \(a\) – стала.

1. Запишіть множину допустимих значень змінної \(x\).

2. Розв’яжіть задане рівняння залежно від значень \(a\).